Christoff Rudolff: Wurzel ziehen als Leidenschaft

Im Jahr 1525 erschien in Straßburg das erste Buch zur Algebra in deutscher Sprache; es trug den Titel »Behend und hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeinicklich die Coß genennt werden«. Das Wort »Coß« kommt von dem italienischen »Cosa« (Ding, Sache) und steht für das Rechnen mit einer Variablen.

Kein Zahnarzt, sondern Mathematiker: Rudolff verfasste das erste deutschsprachige Buch zur Algebra und prägte damit das gesamte Fach.

Autor des Werks war Christoff Rudolff, dessen Lebensdaten nicht genau bekannt sind, auch existiert kein Porträt von ihm. Als Geburtsort gab er Jauer an (heute Jawor/Woiwodschaft in Niederschlesien, damals Königreich Böhmen), möglicherweise ist 1499 sein Geburtsjahr. Rudolffs Sterbedatum ist ebenfalls nicht gesichert, doch das Jahr lässt sich aus einer Information erschließen, die Michael Stifel gab. Dieser erwähnte 1544 in seiner »Arithmetica integra«, dass Christoff Rudolff verstorben sei.

Zwischen 1517 und 1521 studierte Rudolff an der Universität Wien bei Heinrich Schreiber, Autor verschiedener Rechenbücher, darunter »Ayn new kunstlich Buech welches gar gewiss vnd behend lernet nach der gemainen Regel detre« aus dem Jahr 1518. In diesem Buch behandelte Schreiber das »Rechnen auf den Linien«, den Dreisatz, die »Regula falsi«, die Harmonielehre (Proportionen in der Musik), das praktische Rechnen für Kaufleute, die Buchführung sowie die Fassmessung mit der Visierrute.

Schreiber war der Erste, der die Symbole »+« und »–« als Rechenzeichen für Addition beziehungsweise Subtraktion verwendete. Erfunden wurden die Zeichen jedoch ursprünglich von Johannes Widmann (1460–1498), der sie 1489 in einem Buch beim kaufmännischen Rechnen als Kennzeichen für Überschuss und Defizit benutzte.

Der mathematische Monatskalender

Ihre wissenschaftlichen Leistungen sind weit verbreitet, doch wer waren die Mathematik-Genies, die unser Verständnis der Welt nachhaltig prägten? Für seine Schüler hat Heinz Klaus Strick, ehemaliger Leiter des Landrat-Lucas-Gymnasiums in Leverkusen-Opladen den »mathematischen Monatskalender« geschrieben und mit passenden Briefmarken der vorgestellten Personen ergänzt. Alle spannenden Lebensläufe, skurrilen Porträts und unglaublichen Geschichten hinter den namhaften Persönlichkeiten finden Sie nun auch hier.

Vermutlich blieb Rudolff für den Rest des Lebens in Wien und verdiente sich den Lebensunterhalt durch den Verkauf seiner Bücher sowie durch Unterricht. Sein deutsches Algebrabuch aus dem Jahr 1525 umfasst 206 Doppelseiten. Im ersten Kapitel wird die schriftliche Durchführung der Grundrechenarten behandelt.

Bei der Multiplikation nennt Rudolff das kleine Einmaleins als Grundlage, weist aber darauf hin, dass man eigentlich nur das Einmaleins für Zahlen kleiner gleich fünf beherrschen muss. Statt der »großen« Faktoren 6, 7, 8, 9 kann man die Ergänzungszahlen zu 10 benutzen, also 4, 3, 2, 1 (rot). Die Einerstelle des Produkts ergibt sich aus dem Produkt der Ergänzungen zu 10, die Zehnerstelle aus der Differenz der Zehnerstelle der ersten Zahl und der Ergänzung zu 10 des zweiten Faktors, gegebenenfalls unter Berücksichtigung des Übertrags von der Einerstelle. Diese Methode funktioniert auch umgekehrt.

Bemerkenswert ist Rudolffs Hinweis bezüglich der Division durch 10 beziehungsweise durch 100. Man trenne von rechts eine beziehungsweise zwei Stellen ab: 652 : 10 = 65|2 und 652 : 100 = 6|52 – möglicherweise stellt das einen ersten Schritt zu einer Schreibweise für Dezimalzahlen dar.

Im zweiten Kapitel behandelt Rudolff die Bruchrechnung: multiplizieren, kürzen (»prüch kleiner machen«), erweitern, gleichnamig machen, addieren und subtrahieren, Brüche vergleichen. Interessant ist: Beim Dividieren werden die Brüche zuerst gleichnamig gemacht, dann werden die Zähler dividiert und die Nenner weggelassen.

Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit Dreisatzaufgaben sowie Umrechnungen der Geld- und Maßeinheiten verschiedener Länder; im vierten Kapitel folgt jeweils ein Beispiel zum schriftlichen Ziehen einer Quadrat- und einer Kubikwurzel.

Die eigentliche »Coß« beginnt im fünften Kapitel des Buchs mit der Einführung von Variablen. Dabei verwendet Rudolff für die verschiedenen Potenzen jeweils eigene Symbole:

Das erste Symbol ist Platzhalter für die Einheit (»dragma« oder »numerus«), wir würden heute x0 dafür schreiben, das zweite für die unbekannte Größe (»radix«, x), das dritte steht für das Quadrat der unbekannten Größe (»zensus«, x2), das vierte für die dritte Potenz (»cubus«, x3) und so weiter.

Für uns ungewohnt ist, dass Rudolff das dragma-Symbol durchgehend verwendet, zum Beispiel steht:

für die Gleichung: 3×2 + 4x = 20.

Zu Beginn seiner Ausführungen weist Rudolff auf eine wichtige Regel hin: Nur »Benennungen« (Terme) gleicher Art lassen sich durch Addition oder Subtraktion zusammenfassen. Eine Rechenprobe kann dadurch erfolgen, dass man beliebige Zahlen für die Variablen einsetzt. Für die Multiplikation der Platzhalter verschiedener »Ordnungen« gibt er zunächst eine Verknüpfungstafel mit allen möglichen Kombinationen an, beispielsweise x2 · x3 = x5 (in unserer Schreibweise) – im Prinzip beschreibt er dabei das erste Potenzgesetz. Beim Rechnen sind Vorzeichenregeln (zum Beispiel »plus mal minus ist minus« und so weiter) sowie das Distributivgesetz anzuwenden.

Das sechste Kapitel beschäftigt sich mit Bruchtermen, für die die gleichen Regeln gelten wie für gewöhnliche Zahlbrüche. Im siebten Kapitel behandelt Rudolff das Rechnen mit Wurzeln. Für Quadratwurzeln verwendet er als Erster in der Geschichte der Mathematik das Symbol √. Grundsätzlich unterscheidet er drei Typen von Zahlen: »rationale« oder »wolgeschickte« Zahlen, das sind Quadratzahlen wie 4, aus denen sich die Wurzel ziehen lässt; »comunicanten« oder »mittermessig Zahlen« (Vielfache von Quadratzahlen wie 8, aus denen teilweise die Wurzel gezogen werden kann) und »irrationale« oder »ganz ungeschickte Zahlen«.

Darstellungen der Form a · √b treten bei ihm nicht auf, sondern sind stets als √(a2 ·  b) notiert. Bei der Addition und Subtraktion von Wurzeln solle man die Radikanden auf gemeinsame Faktoren hin untersuchen, also beispielsweise bei √8 + √18 die Radikanden zerlegen in √(4·2) + √(9·2), dann aus den Faktoren 4 und 9 jeweils die Wurzel ziehen und die Ergebnisse addieren, so dass sich die Summe 5 ergibt, die man quadriert wieder unter die Wurzel zieht. Damit erhählt man: √50.

Wenn das nicht möglich ist, quadriere man die Summe oder Differenz und ziehe anschließend wieder die Wurzel; so wird aus √7 − √5 durch Anwenden der binomischen Formel zunächst 7 + 5 − √(4·7·5), also 12 − √140 und somit: √(12−√140).

Nach entsprechenden Ausführungen über dritte und vierte Wurzeln geht Rudolff im zehnten Kapitel auf das Rechnen mit zusammengesetzten Termen ein, wie 5 + √7 und √8 + √6, die Rudolff als »binomium« bezeichnet, zusammen mit dem jeweils zugehörigen »residuum« 5 − √7 beziehungsweise √8 − √6. Besonderen Raum nimmt das Zusammenspiel von »binomium« und »residuum« (und umgekehrt) bei der Division ein. Aus manchen dieser binomia gelangt man durch Wurzelziehen wieder auf ein »binomium«, wie von 14 + √180 auf 3 + √5 – die anderen nennt Rudolff »surdisch« und »ungeschickt«.

Das zweite Buch ist in drei Abschnitte unterteilt. Im ersten geht um das Lösen von Gleichungen. Es beginnt mit der Auflistung der acht Gleichungstypen, zu denen er jeweils mehrere Beispiele angibt (die Exponenten der auftretenden Potenzen wachsen dabei um eins). Null als Lösung sowie negative Lösungen werden durchgängig nicht beachtet. Statt des Gleichheitszeichens in diesen »Vergleichungen« schreibt er die Worte »sein gleich« zwischen die beiden Terme. Alle Beispiele haben zwei als Lösung:

Rudolff ging in der ersten Ausgabe des Buchs nicht darauf ein, dass alle Gleichungen vom Typ sechs noch eine weitere Lösung haben, korrigierte das aber später.

Der zweite Abschnitt befasst sich mit den vier Maßnahmen (»cautelae«), die zur Lösung einer Gleichung führen:

  • Treten in einer Gleichung Terme gleicher Ordnung mehrfach auf, dann fasse man sie zusammen, gegebenenfalls durch Addition oder Subtraktion auf beiden Seiten der Gleichung.
  • Wenn in einer Gleichung Terme vorkommen, vor denen ein Minuszeichen steht, dann gleiche man durch Addition aus.
  • Wenn Wurzelterme auftreten, dann quadriere man.
  • Wenn auf beiden Seiten Bruchterme stehen, dann multipliziere man »kreutzweiß«.

Der dritte Abschnitt des zweiten Buchs enthält auf 145 Doppelseiten über 400 Aufgaben mit vollständigen Lösungen (Festlegung der Variablen, Aufstellen der Gleichung, Umformungen gemäß den oben angegebenen Regeln). Vom hohen verbalen Anteil einmal abgesehen, unterscheiden sich die Lösungswege kaum von denen der Algebraaufgaben, wie wir sie aus heutigen Schulbüchern kennen. Hier eine Auswahl zum ersten Typ:

  • Wenn man eine Zahl, die kleiner ist als 10, mit 3 multipliziert, dann liegt das Produkt siebenmal so viel über 10, wie die Zahl kleiner ist als 10.
  • Von neun Zahlen einer arithmetischen Folge (»über sich wachsend mit gleicher Übertretung«) ist die kleinste die Zahl 4 und die Summe beträgt 48.
  • Die Länge einer Höhe in einem Dreieck mit den Seiten 13, 14, 15 ist zu bestimmen.
  • In einem rechtwinkligen Dreieck (»recht winckelmässiges triangel«) hat eine der Katheten die Länge 3 + √18, die andere Kathete und die Hypotenuse haben zusammen die Länge 9 + √162.

Bei den insgesamt 240 Aufgaben zu Gleichungen zum ersten Typ geht es um Probleme, wie sie bereits in der Aufgabensammlung von Leonardo von Pisa vorkommen und wie man sie später in Leonhard Eulers »Vollständige Anleitung zur Algebra« wiederfindet.

Es geht um Glücksspieler, die unterschiedliche Beträge gewinnen oder verlieren, um Reisende, die sich von zwei Städten aus aufeinander zubewegen. Dann vergleichen zwei Männer die Inhalte ihrer Geldbörsen; drei Männer würden gerne ein Haus beziehungsweise ein ganzes Dorf kaufen, ein Pferd beziehungsweise mehrere Pferde erwerben, benötigen dafür aber Geld von den anderen. Weiter folgen Kalkulationen zur Besoldung von Landsknechten, um eine Stadt zu erobern. Es werden Arbeiter für Arbeitstage entlohnt und es wird für Fehltage Geld abgezogen, man muss die Einkünfte aus einem Brückenzoll nachträglich wieder aufschlüsseln. In drei Mühlen wird mit unterschiedlicher Kapazität gleichzeitig und gleich lange Getreide gemahlen; es werden Gesellschaften gegründet und Gewinne aufgeteilt; in einer anderen Geschichte besucht ein Musikant nacheinander drei Wirtshäuser und wird dafür entlohnt, muss aber jedes Mal für sein Essen bezahlen und so weiter.

Bei Gleichungssystemen mit zwei oder sogar mehr als zwei Variablen braucht man eine weitere Variable, die Rudolff als »Quantität« bezeichnet. Die Lösung dieser Aufgaben erscheint (aus heutiger Sicht) noch etwas kompliziert, aber nur wenige Jahre später findet man bei Stifel bereits eine Lösungsvariante mit mehreren Variablen. Unter den Aufgaben kommt auch ein Problem mit einer negativen Lösung vor, was Rudolff mit »volgt unmüglichkeit« kommentiert. Insgesamt auffallend ist der hohe Anteil von Aufgaben, in denen Wurzelterme auftreten; dies gilt auch für die anderen Gleichungstypen, beispielsweise:

  • Multipliziert man die Hälfte einer Zahl und ein Drittel der Zahl, dann erhält man 36 + √1152.
  • Wenn ich vom Quadrat einer Zahl 3 subtrahiere und auch zum Quadrat der Zahl 3 addiere, dann ergibt das Produkt der beiden Ergebnisse 88 − √9408.
  • Eine Zahl ist um 2 + √ 2 größer als eine andere. Wenn ich sie miteinander multipliziere, ergibt sich 36 + √1152.
  • Einer leiht einem anderen 25 Gulden für zwei Jahre mit Zins und Zinseszins. Nach zwei Jahren zahlt dieser 49 Gulden zurück.
  • Zwei Bauern haben Ochsen verkauft, der eine 30, der andere etliche. Für einen Ochsen erhielten die beiden jeweils so viele Gulden, wie der zweite Bauer Ochsen verkauft hat. Subtrahiert man von den Einnahmen des ersten die des zweiten und zieht daraus die dritte Wurzel, dann weiß man, wie viel Geld es für einen Ochsen gab.
  • Gesucht sind zwei Zahlen, deren Summe 10 + √18 beträgt. Multipliziert man sie, so ergibt sich 25 + √338.
  • Einer wird gefragt, wie viel Wochen er alt sei. Dieser antwortet: Subtrahiert man 312 von einem Viertel der Anzahl der Wochen, dann ist dies gleich der Wurzel aus der Anzahl der Wochen vermindert um 27.
  • Zwei Männer besitzen Geld, der zweite 4 Gulden weniger als der erste. Wenn man die beiden Vermögen miteinander multipliziert und das Produkt quadriert, dann ergibt sich dasselbe, wie wenn man die dritte Potenz des größeren Betrags mit 5⅓ multipliziert.

Am Ende des Buchs präsentiert Rudolff noch drei Probleme, die auf eine kubische Gleichung führen, für deren Lösung damals noch kein systematisches Lösungsverfahren zur Verfügung stand.

Nur ein Jahr nach seinem Algebrabuch veröffentlichte Rudolff ein zweites Buch mit dem Titel »Künstliche Rechnung mit der ziffer und mit den zal pfennigen« – ein Lehrbuch für Rechenschüler, Kaufleute und Handwerker. Der erste Teil (»Grundbüchlein«) ist vergleichbar mit dem des ersten Werks, zusätzlich enthält es auch das Rechnen mit Rechenpfennigen. Im zweiten Teil (»Regelbüchlein«) erläutert er den Dreisatz und eine Methode des praktischen Rechnens mit Einheiten (»welsche Praxis«) und rechnet zahlreiche Beispiele vor (»Exempelbüchlein«). Das Buch hatte bis zum Ende des 16. Jahrhunderts mindestens 17 Auflagen.

Ungefähr zehn Jahre nach Rudolffs Tod erschien in Königsberg »Die Coß Christoffs Rudolffs mit schönen Exempeln der Coß durch Michael Stifel gebessert und sehr vermehrt«. Stifel übernahm hierzu den vollständigen Text von Rudolff und fügte zahlreiche Kommentare und Ergänzungen (etwa zu kubischen Gleichungen) hinzu, so dass der Umfang mehr als verdoppelt wurde und nunmehr 491 Doppelseiten betrug.

In der Vorrede lobt Stifel das inzwischen nicht mehr verfügbare Werk Rudolffs als »so klar und deutlich, dass ich dieselbige Kunst ohn allen mündtlichen underricht verstanden hab (mit Gottes hülff) und gelernet«. Auch weist er die Kritik zurück, Rudolff habe etliche Aufgaben aus einer Handschrift abgeschrieben, die sich in der Wiener Bibliothek befindet: Durch die Übernahme von Aufgaben sei niemandem ein Schaden entstanden, vielmehr sollte dies als Ehre angesehen werden, und außerdem sei es der Zweck einer Bibliothek, dass jeder sie nutzen kann.

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